设0<x<1,a>0,b>o,a,b为常数．则的a平方除以x加b的平方除以(1-x)的最小值为？

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/09/18 05:29:37
设x=cos^2.有a平方除以x＋b的平方除以(1-x)＞＝根号下a平方除以x*b的平方除以(1-x)．为什摸不对

解一：（导数）令f（x)=a^2/x+b^2/(1-x) 则f'(x)=-a^2/x^2+b^2/(1-x)^2 当f'(x)=0时 x=a/(a+b)<1 又因为f"(a/(a+b))>0 所以f(x)min=f(a/(a+b))=(a+b)^2

解二：（三角换元）设x=(sinθ)^2(0<θ<90)，那么
a^2/x+b^2/(1-x)=a^2/(sinθ)^2+b^2/(cosθ)^2
=a^2(1+(cotθ)^2)+b^2(1+(tanθ)^2)
=a^2+b^2+a^2(cotθ)^2+b^2(tanθ)^2
>=a^2+b^2+2ab=(a+b)^2综上，得a^2/x+b^2/(1-x)>=(a+b)^2